Линейная алгебра. Переопределенность системы

Довлетова Куралай Довлетовна,
Педагог-стажер.
Мангистауская область, город Жанаузен
Заң решений тогда, когда выполняется условие:
Bf≠0.
Такие случаи возможны когда количество уравнений больше, чем число неизвестных.
Рассмотрим СЛАУ (систему линейно-алгебраических уравнений)
{5x1+6x2=b1 x1-x2=b2 x1+10x2=b3 (2)
Систему (2) можно записать в матричном виде Ax=b, где A=5 6 1 -1 1 10 , x=x1 x2 , b=b1 b2 b3
количество неизвестных=2 количество уравнений=3 }-такая система согласна определению будет переопределенной. На математическом языке это означает что ∃В=b11 b12 b13 b21 b22 b23 :
ВА=0 (3)
В данном случае В=2 -5 -5 1 -4 -1 . Действительно 2 -5 -5 1 -4 -1 5 6 1 -1 1 10 =0 0 0 0
Из этого следует, что если Вb≠0 то СЛАУ не имеет решений.
A0=0 0≠ xKerA Ax=0 }- имеет не единственное решение
Соотношение (3) можно интерпретировать в терминах теории линейных операторов в гильбертовых пространствах. Для этого запишем матрицу А в виде линейного оператора:
A: R2R3
Если bImA, то уравнение (2) имеет решений.
Если bImA, bR3 , то операторное уравнение (2) не имеет решений.
Таким образом, разрешимость уравнения (2) зависит от образа оператора А, то есть:
ImA⊂R3 , ImA≠R3

В то же время единственность решения уравнения (2) зависит от ядра оператора А, то есть:
KerA⊂R2, KerA≠0 .
В общем случае A-линейный замкнутый оператор H1H2, причем
H1KerA, ImA⊂H2.
Пусть оператор В гильбертово пространство H2 переводит в гильбертово пространство H3, причем:
ВA=0.
Тогда справедливы соотношения:
ВAx=0, u=AxImA,
Вu=0, uKerB
Поэтому верно включение:
ImA⊂ KerB (4)
Таким образом, условие (4) гарантирует пере определенность оператора А. Обычно следующая схема
H1 А→ H2 В→H3
В математике называется комплексом, причем должно выполнятся включение: ImA⊆ KerB.
Таким образом когомология Де-Рама (фактор пространство) KerB/ImA помогает нам определить степень переопределенности.