Оқушыларды қозғалысқа байланысты күрделі мәтінді есептерді шешуге үйрету әдістері

ӘОЖ 373.5:51

ОҚУШЫЛАРДЫ ҚОЗҒАЛЫСҚА БАЙЛАНЫСТЫ КҮРДЕЛІ МӘТІНДІ ЕСЕПТЕРДІ ШЕШУГЕ ҮЙРЕТУ ӘДІСТЕРІ

Бисенова А.Т.

Магистрант, Х.Досмұхамедов атындағы Атырау университеті,

Атырау, Қазақстан Республикасы

E-mail: bisenova_03@inbox.ru

Кенжегулов Б.З.

Техника ғылымдарының докторы, профессор

Х.Досмұхамедов атындағы Атырау университеті,

Атырау, Қазақстан Республикасы

E-mail: b.kenzhegulov@asu.edu.kz

Аңдатпа. Мақалада қозғалысқа байланысты күрделі мәтінді есептерді шешуге үйретудің әдістемелік ерекшеліктері қарастырылады. Қуып жету, өзен ағысымен қозғалу, шеңбер бойымен қозғалыс, пойыздардың қозғалысы және жылдамдықтың кезеңдік өзгеруі бар есептер негізінде мәтіндік жағдайды математикалық модельге көшіру жолдары талданады. Әр есептен кейін оны оқушыға түсіндірудің мазмұндық реті, көрнекі модельді таңдау, типтік қателерді алдын алу және шешімді тексеру тәсілдері ұсынылады. Негізгі назар формуланы механикалық қолдануға емес, есеп құрылымын саналы түсінуге аударылады.

Кілт сөздер: мәтінді есеп, қозғалыс, математикалық модель, сызба, салыстырмалы жылдамдық, оқыту әдістемесі.

Аннотация. В статье рассматриваются методические особенности обучения решению сложных текстовых задач на движение. На примерах задач на догонку, движение по реке, движение по окружности, движение поездов и движение с изменяющейся скоростью анализируется переход от словесного условия к математической модели. После каждого примера предлагается последовательность педагогического объяснения, способы визуализации, предупреждения типичных ошибок и проверки результата. Акцент сделан на осмысленном анализе структуры задачи, а не на механическом применении готовых формул.

Ключевые слова: текстовая задача, движение, математическая модель, схема, относительная скорость, методика обучения.

Abstract. The article examines methodological features of teaching complex motion word problems. Pursuit, river-current, circular-track, train-length, and variable-speed problems are used to analyze the transition from a verbal situation to a mathematical model. Each worked example is followed by a teaching explanation that focuses on visual representation, prevention of typical errors, and verification of the result. The proposed approach emphasizes understanding the mathematical structure of a problem rather than mechanically applying memorized formulas.

Keywords: word problem, motion, mathematical model, diagram, relative speed, teaching methodology.

Кіріспе

Қозғалысқа байланысты мәтінді есептер мектеп математикасында шамалар арасындағы тәуелділікті түсіндірудің, математикалық модель құрудың және есептің жауабын нақты жағдаятпен байланыстыра бағалаудың мазмұнды құралы болып саналады. Олардың күрделілігі амалдар санының көптігімен ғана өлшенбейді. Негізгі қиындық - мәтінде сипатталған қозғалыс оқиғаларын уақыт, бағыт және қашықтық тұрғысынан дұрыс реттеп, сол қатынастарды сызба, кесте немесе теңдеу түрінде бейнелей алу. Қозғалыс есептерін оқытуда аналитикалық және синтетикалық пайымдау, сызбалық бейнелеу мен теңдеу құрудың бірлікте қолданылуы маңызды екені отандық зерттеулерде көрсетілген [1]. Математикалық модельдеуді мәтінді есепті шешудің жүйелі тәсілі ретінде қарастыру оқушының бастапқы жағдаятты формализациялауынан бастап алынған нәтижені түсіндіруіне дейінгі әрекеттерін бір логикаға біріктіруге мүмкіндік береді [2].

Соңғы зерттеулер көрнекі модельдің өзі жеткіліксіз екенін, оның есептің семантикалық құрылымына сәйкес таңдалуы қажет екенін көрсетеді: сызықтық сызба, кесте немесе график белгілі бір типтегі қатынасты ашқанда ғана шешуге нақты қолдау береді [3]. Қозғалыс есептерінде бірнеше стратегияны қатар ұсыну оқушыға алгебралық және графикалық тәсілдердің мүмкіндігін салыстыруға жағдай жасайды [4]. Ал сегізінші сынып оқушыларымен жүргізілген зерттеулерде мәтінді мағыналық бөліктерге жіктеу мен кестелік ұсыну маңызды ақпаратты ажыратуды жеңілдететіні анықталған [5]. Осы тұжырымдар мақалада ұсынылатын әдістемелік ұстанымның негізін құрайды: оқушыға дайын формуланы бірден ұсынбай, алдымен қозғалыс жағдаятын түсіндіріп, оған сәйкес көрнекі және математикалық модельді өздігінен таңдауға бағыттау.

Зерттеудің мақсаты - қозғалысқа байланысты күрделі мәтінді есептердің бірнеше типін мысалға ала отырып, оларды оқушыға түсіндірудің кезеңдік жолдарын жүйелеу және әр есептің математикалық құрылымына сәйкес келетін әдістемелік амалдарды негіздеу. Жұмыста ғылыми-әдістемелік әдебиеттерді салыстырмалы талдау, есеп шартын құрылымдау, математикалық модель құру және шешімді тәуелсіз тексеру әдістері қолданылды.

Қозғалыс есептерін оқытудың әдістемелік логикасы

Күрделі қозғалыс есебін талдауда бір ғана әмбебап сызбаны немесе формуланы қолдану тиімді емес. Қуып жету есебінде уақыттық және бағыттық сызба, өзен есебінде ағыс бағытын көрсететін модель, шеңбер бойындағы қозғалыста айналымдық сызба, ал пойыз ұзындығы ескерілетін есепте кесінділік модель анағұрлым нәтижелі. Сондықтан сабақтағы жұмыс «жағдаятты түсіну - негізгі шамаларды ажырату - қозғалыс түрін анықтау - сәйкес модельді таңдау - математикалық қатынасты құру - шешімді тексеру» ретімен ұйымдастырылғаны орынды. Бұл ретте мұғалімнің сұрағы формуланы еске түсіруге емес, амалдың мағынасын ашуға бағытталады: «Қандай қашықтық өзгеріп жатыр?», «Бұл уақыт кімнің қозғалысына тиесілі?», «Неліктен жылдамдықтар қосылады немесе азайтылады?».

1. Қуып жетуге байланысты көпкезеңді қозғалыс

1-есеп. Велосипедші 18 км/сағ жылдамдықпен жолға шықты. 1 сағат 30 минуттан кейін сол бағытта 54 км/сағ жылдамдықпен автомобиль қозғалды. Автомобиль 40 минут жүрген соң 20 минут аялдап, кейін бастапқы жылдамдығымен қозғалысын жалғастырды. Автомобиль өз жолын бастағаннан қанша уақыт өткенде велосипедшіні қуып жетеді?

Автомобиль қозғалған мезетте велосипедші 18 · 1,5 = 27 км алда болады. Автомобиль жолға шыққаннан бергі уақытты t сағат деп белгілейік. Кездесу аялдау аяқталғаннан кейін өтетіндіктен, t ≥ 1. Автомобильдің нақты қозғалған уақыты  сағат, ал велосипедшінің сол мезеттегі жүрген жолы 27 + 18t км. Осыдан

Тексеру кезінде автомобильдің жүрген жолы , ал велосипедшінің жүрген жолы  екені шығады. Демек, алынған уақыт есеп шартына сәйкес келеді.

Бұл есепте оқушылар көбіне жалпы уақыт пен нақты қозғалыс уақытын ажыратуда қателеседі. Сондықтан түсіндіруді теңдеуден емес, оқиғалардың хронологиясынан бастаған дұрыс. Алғашқы 40 минутта екі көлік те қозғалады: салыстырмалы жылдамдық 54 − 18 = 36 км/сағ, сондықтан арақашықтық 24 км-ге қысқарып, 3 км қалады. Келесі 20 минутта автомобиль тоқтайды, ал велосипедші 6 км жүріп, арақашықтықты 9 км-ге дейін ұлғайтады. Аялдаудан кейін осы 9 км салыстырмалы 36 км/сағ жылдамдықпен 15 минутта жабылады. Мұндай кезеңдік талдау  өрнегінің қайдан шыққанын түсіндіреді және оқушыны формуланы механикалық қолданудан сақтайды. «Неліктен аялдау уақыты тек автомобильдің қозғалыс уақытынан шегеріледі?» деген сұрақ осы есептің негізгі мағыналық түйінін ашады.

2. Өзен ағысымен және ағысқа қарсы қозғалыс

2-есеп. Моторлы қайық өзен ағысына қарсы 36 км, ал ағыспен 54 км жүзіп, барлық жолға 6 сағат жұмсады. Өзен ағысының жылдамдығы 3 км/сағ. Қайықтың тынық судағы жылдамдығын табыңдар.

Қайықтың тынық судағы жылдамдығын v км/сағ деп алайық, мұнда v > 3. Ағысқа қарсы қозғалыста оның жылдамдығы v − 3, ал ағыспен қозғалыста v + 3 болады. Сондықтан жалпы уақыт теңдеуі:

Ортақ бөлімге келтіргенде 36(v + 3) + 54(v − 3) = 6(v² − 9), бұдан v(v − 15) = 0 шығады. v > 3 шартына сәйкес v = 15 км/сағ. Тексеру: .

Мұнда негізгі мәселе - «ағыспен» және «ағысқа қарсы» ұғымдарын таңба деңгейінде емес, қозғалыс мағынасы арқылы түсіндіру. Сызбада ағыстың бағыты жеке көрсетіліп, оқушыдан оның қайық қозғалысына қай кезде көмектесетінін, қай кезде кедергі жасайтынын түсіндіру сұралады. Осы талдаудан кейін v + 3 және v − 3 өрнектері табиғи түрде шығады. «Бағыт - қашықтық - жылдамдық - уақыт» кестесі екі кезеңді бір жүйеге келтіреді. Сонымен бірге v > 3 шектеуін міндетті түрде талқылау қажет: бұл шарт алгебралық түбірді нақты қозғалыс жағдайымен салыстырып бағалауға үйретеді. Шешім соңында «Ағыс жылдамдығы ұлғайса, ағысқа қарсы жүру уақыты қалай өзгереді?» деген сұрақ себеп-салдарлық байланысты бекітеді.

3. Шеңбер бойымен қозғалыс

3-есеп. Ұзындығы 840 м шеңберлі жолдың бір нүктесінен екі спортшы бір уақытта бір бағытта шықты. Олардың жылдамдықтары 6 м/с және 4 м/с. Жылдам спортшы баяу спортшыны алғаш рет қашан қуып жетеді және осы уақытқа дейін әрқайсысы неше айналым жасайды?

Алғашқы қуып жету сәтінде жылдам спортшы баяу спортшыдан бір толық айналымға, яғни 840 м-ге артық жол жүруі керек. Салыстырмалы жылдамдық 6 − 4 = 2 м/с. Сондықтан

Осы уақытта бірінші спортшы 6 · 420 = 2520 м, яғни 3 айналым, ал екіншісі 4 · 420 = 1680 м, яғни 2 айналым жасайды.

Шеңберлік есептерде оқушының «кездесу» ұғымын түзу сызықтағы кездесумен шатастыруы жиі кездеседі. Сондықтан бір бастапқы нүкте мен қозғалыс бағытын шеңберлік сызбада көрсету маңызды. Екі спортшының координатасы қайта сәйкес келгенімен, жүрген жолдары бірдей емес; олардың жолдарының айырмасы дәл бір айналым ұзындығына тең. Осы фактіні оқушы өзі тұжырымдағаннан кейін ғана салыстырмалы жылдамдық формуласына көшкен дұрыс. «Неліктен орын ауыстыруды емес, жүрген жолдардың айырмасын салыстырамыз?» және «Спортшылар қарама-қарсы бағытта қозғалғанда модель қалай өзгереді?» деген сұрақтар шеңберлік қозғалыстың математикалық құрылымын тереңірек түсінуге мүмкіндік береді.

4. Пойыздардың қозғалысында дене ұзындығын ескеру

4-есеп. Ұзындығы 180 м бірінші пойыз ұзындығы 420 м көпірден 30 секундта толық өтеді. Ол қарсы бағытта келе жатқан ұзындығы 220 м екінші пойызбен 10 секундта толық айырылысады. Екі пойыздың жылдамдықтарын табыңдар.

Пойыз көпірден толық өту үшін оның алдыңғы бөлігі көпір ұзындығына пойыз ұзындығы қосылған қашықтықты жүреді: 420 + 180 = 600 м. Сондықтан бірінші пойыздың жылдамдығы . Екі пойыз толық айырылысу үшін 180 + 220 = 400 м салыстырмалы жол жабылуы тиіс. Демек,

Бұл типтегі есептің негізгі қиындығы қозғалыс нүктелік дене үшін емес, ұзындығы бар объект үшін қарастырылатынында. Кесінділік модельде пойыздың көпірге кірген сәті мен соңғы вагонының көпірден шыққан сәтін бөлек белгілеу қажет. Сонда «толық өту» үшін 420 м емес, 600 м жүрілетіні көрнекі түрде түсінікті болады. Екінші бөлікте толық айырылысу шарты екі пойыз ұзындықтарының қосындысымен сипатталады. Мұғалімнің «Пойыздың алдыңғы бөлігі көпір соңына жеткенде өту аяқталды ма?» деген сұрағы оқушының жасырын қате болжамын бірден айқындайды. Сонымен қатар метр мен секундтағы шамаларды км/сағ-қа ауыстыруда өлшем бірліктерінің үйлесімділігі міндетті түрде тексерілуі тиіс.

5. Жылдамдығы өзгеретін екі кезеңді қозғалыс

5-есеп. Автомобиль 240 км жолдың алғашқы бөлігін 60 км/сағ, қалған бөлігін 80 км/сағ жылдамдықпен жүріп, барлық жолға 3,5 сағат жұмсады. Әр бөліктің ұзындығын табыңдар.

Бірінші бөліктің ұзындығын x км деп белгілесек, екінші бөлік 240 − x км болады. Жалпы уақыт жеке кезеңдер уақытының қосындысына тең:

Ортақ бөлімге келтіргенде 4x + 3(240 − x) = 840, бұдан x = 120 км шығады. Демек, екінші бөлік те 120 км. Тексеру: .

Бұл есепте оқушы қозғалысты екі дербес кезеңге ажыратып, әр кезең үшін S = vt тәуелділігін жеке қолдануы керек. Кестеде бірінші бөліктің қашықтығын x, екіншісін 240 − x деп белгілеу белгісіз шамалардың байланысын айқын көрсетеді. Есеп шешілгеннен кейін орташа жылдамдықты талқылау пайдалы: жалпы жолдың жалпы уақытқа қатынасы , ал 60 пен 80-нің арифметикалық ортасы 70 км/сағ. Осы айырмашылық арқылы оқушы орташа жылдамдықтың қарапайым «екі жылдамдықтың ортасы» емес екенін түсінеді. «Қандай жағдайда арифметикалық орта дұрыс болар еді?» деген қосымша сұрақ мәселені жалпылауға мүмкіндік береді.

Ғылыми-әдістемелік талдау

Қарастырылған есептердің мазмұны әртүрлі болғанымен, олардың ортақ әдістемелік негізі бар: оқушы есеп мәтініндегі ақпаратты бірден амалға айналдырмай, алдымен қозғалыс құрылымын анықтауы тиіс. Қуып жету есептерінде арақашықтықтың өзгеруі, өзен есептерінде ағыс бағытының жылдамдыққа әсері, шеңбер бойындағы қозғалыста айналым ұзындығы, пойыз есептерінде дененің ұзындығы, ал кезеңдік қозғалыста жалпы уақыттың жеке уақыттардан құралуы негізгі мәнге ие.

Әдістемелік қолдау біртіндеп қысқартылғаны дұрыс. Алғашқы кезеңде мұғалім дайын сызба мен бағыттаушы сұрақтар ұсына алады, кейін оқушы модельді өзі таңдап, белгісіз шаманы анықтап, теңдеудің мағынасын түсіндіреді. Бағалау кезінде тек соңғы жауап емес, есеп шартын дұрыс талдау, модель таңдау, шектеулерді ескеру және нәтижені тексеру де назарға алынуы қажет.

Қателермен жұмыс та маңызды орын алады. Жылдамдықтарды орынсыз қосу, ағыс бағытын қате анықтау немесе пойыз ұзындығын елемеу көбіне есептеу қатесінен емес, қозғалыс жағдайын дұрыс модельдей алмаудан туындайды. Сондықтан мұғалім дайын жауапты бермей, бағыттаушы сұрақтар арқылы оқушыны өз қатесін түсінуге жетелеуі тиіс.

Сонымен қатар тапсырмалардың күрделілігін біртіндеп арттыру тиімді. Алдымен дайын сызбалар мен тірек мәліметтер беріліп, кейін оқушының модельді өздігінен таңдауына жағдай жасалады. Бір есепті бірнеше тәсілмен шешу математикалық байланыстарды тереңірек түсінуге көмектеседі. Осылайша, негізгі мақсат формуланы жаттатудан гөрі, қозғалыс жағдайын талдау және сәйкес математикалық модельді саналы түрде таңдау дағдысын қалыптастыру болып табылады.

Қорытынды

Қозғалысқа байланысты күрделі мәтінді есептерді оқытудағы негізгі мәселе формулалардың санында емес, мәтіндік жағдаяттан математикалық қатынасқа дұрыс өтуде жатыр. Қуып жетуде кезеңдік уақытты, өзен есебінде ағыс әсерін, шеңберлік қозғалыста толық айналымды, пойыз есебінде дене ұзындығын, ал жылдамдық өзгеретін есепте қозғалыс кезеңдерін ажырата білу маңызды. Ұсынылған тәсіл талдау, модель құру, шешу және тексеру әрекеттерін өзара байланыстырады. Оның тиімділігін педагогикалық экспериментте модель таңдау сапасы, типтік қателердің азаюы және шешімді негіздеу деңгейі арқылы бағалау жоспарланады. Мұндай жүйелі жұмыс оқушының күрделі қозғалыс есептерін өзара байланысқан шамалар жүйесі ретінде түсінуіне жағдай жасайды.

Сондықтан бағалауда соңғы жауаппен бірге оқушының модель таңдауы, оны негіздеуі және шешімді тексеруі де ескерілуі тиіс.

Пайдаланылған әдебиеттер тізімі:

1 Амантаева Э. Мәтінді есептер, қозғалысқа байланысты мәтінді есептер және осы мәселелерді оқытудың теориялық негізі // SDU University Bulletin: Pedagogy and Teaching Methods. – 2023. – Т. 62, № 1. – 6–31-б. – URL: https://journals.sdu.edu.kz/index.php/ptm/article/view/863.

2 Абатурова В. С., Дятлов В. Н. Учебное математическое моделирование как инструмент научного метода при решении учащимися текстовых задач // Continuum. Математика. Информатика. Образование. – 2025. – № 1. – С. 8–14. – DOI: 10.24888/2500-1957-2025-1-8-14.

3 Ayabe H., Manalo E., de Vries E. Problem-appropriate diagram instruction for improving mathematical word problem solving // Frontiers in Psychology. – 2022. – Vol. 13. – 992625. – DOI: 10.3389/fpsyg.2022.992625.

4 Schreiber I., Ashkenazi H. The impact of various teaching methods on the knowledge of students of different genders: The case of mathematics word problems // Heliyon. – 2024. – Vol. 10, No. 16. – e35610. – DOI: 10.1016/j.heliyon.2024.e35610.

5 Shang X., Zhao X., Wang S., Jing B., Lee C.-Y. The effects of structural visualization methods on student performance in mathematics word problems: an eye-tracking analysis // International Journal of Educational Research. – 2026. – Vol. 140. – 103075. – DOI: 10.1016/j.ijer.2026.103075.