Дискретті кездейсоқ шамалардың сандық  сипатамалары,дискретті кездейсок шамалардын үлестірімінің түрлері анықтайды.Үлкен сандар заңы.

Сейсенкулова Г.К.

Зем А, Тоирем А

мақсаты:

кутілетін меңгеретін нәт    нәтижелері

Білім алушылардың кейбіреуі үлкен сандар заңың қолданады.

Жаңа материалды игеру.

Тәжірибені шексіз көп жүргізгенде оқиғаның пайда болу жиілігі оның  ықтималдығынан   тым    аз    айырмашылықта болатындығын атап өткенбіз. Міне бұл «үлкен сандар заңының» бір көрінісі. Үлкен сандар заңы деп кездейсоқ шамалардың арифметикалық ортасына тұжырымдалатын теоремаларды айтамыз.

Чебышев теоремасы.

Егер тәуелсіз    кездейсоқ шамаларының тұрақты бір С санымен шектелген дисперсиялары бар болса, онда кез-келген  ε>0 саны үшін

Яғни, кездейсоқ шамалардың арифметикалық ортасы мен олардың математикалық үміттерінің арифметикалық ортасының арасындағы айырмашылық кездейсоқ шамалар саны мейлінше көп болғанда (n ) өте аз шама болады.

Чебышев теоремасы Чебышев теңсіздігі арқылы дәлелденеді.

Бұл айтылғанның практикалық маңызын әрі қарай түсі-ну үшін үлкен сандар заңының тағы басқа теоремасын

қарастырайық.

Бернулли теоремасы. Егер Р әрбір тәжірибе

жүргізгендегі А оқиғасының пайда болу ықтималдығы және кездейсоқ шамасы – А оқиғасының n рет тәжірибе жүргізгендегі пайда болу саны m болса, онда

кез келген   ε  >0 саны үшін

Бернулли теоремасы тәжірибе жүргізу шарты тұрақты болғанда жиіліктің орнықты болуын көрсетеді.

Бернулли ҮСЗ (үлкен сандар заңы)—ол тек Бернулли сызбасына ғана қатысты тұжырымдама.

Теорема (Бернулли ҮСЗ).  — Бернулли сызбасындағы  сынақтар ішіндегі ықтималдығы -ға тең жетістіктер саны болсын.

Онда   Мұнда кез келген ε > 0 үшін

Немесе эквивалентті түрде

Дәлелдеуі:  – параметрі -ға тең (сәйкес сынақта жетістік орын алды дегеннің көрсеткіші) Бернулли үлестірімі бар тәуелсіз, бірдей үлестірілген кездейсоқ шамалардың қосындысы: , мұнда

.

. Енді Чебышев түрінде берілгенҮСЗ-ын және келесі теңсіздікті қолдансақ жеткілікті:

.

1-мысал. Дұрыс монета 10000 рет лақтырылады. Елтаңбалар саны 5000-нан 100-ге кем болатындай өзгешеленуі ықтималдығын  бағалайық.
—    cынақтардың ішінде елтаңбалар түсуінің саны болсын. Оқиға ықтималдығын бағалау қажет.

Шешуі:

.

болғандықтан, ізделінді бағалау мына түрде жазылады:

5-25

26-35 мин

Топпен жұмыс.Тапсырмаларды орындап болған соң, жаңа топтар құрылып есептер талдалынып дұрыс шешімді анықтайды.

Тапсырма 1. Ойын сүйегін 300 рет лақтырғанда, алты ұпайдың түсуінің салыстырмалы жиілігі осы оқиға ықтималдығынан 0,01-ден аспайды деген болжамды бағалаңыз.

Шешуі:   оқиғасын бағалау үшін Бернулли теоремасының дәлелдеуіндегі теңсіздікті қолданайық, мұнда

Тапсырма 2. Өнім сапасының ықтималдығы 0,9. Ықтималдығы 0,95 -тен кем болмайды деп тұжырымдайтындай,  сапалы өнімдердің 0,9-дан ауытқуының  абсолюттік мәні 0,1-ден аспайтындай  шамамен  қанша өнімдерді тексеру керек?

Шешуі:

теңсіздігін қолданамыз.

Шарт бойыша .

Жоғарыда келтірілген теңсіздіктің оң жағына осы мәндерді қоялық:

.

Жауабы: .

Өзара бағалаумен жұптасып есептер шешу. 2-мысал.

Өндірілген құрылғыларды тексергенде орташа есеппен 100-ден 15 данасында белгілі бір ақаулар пайда болатыны анықталды. Өндірілген 400 құрылғылардың ішінен ақаулары бар құрылғылардың үлесі абсолюттік мәнде осы үлестің математикалық күтімінен 0,05-тен аспауының ықтималдылығын бағалаңыз.

Шешуі:

теңсіздігін қолданамыз.

Шарт бойыша . Р ретінде ақау үлесін тексеру барысында алынған   шамасын аламыз. Сонымен,

Жауабы: .Келесі тұжырымдар мен теоремалар да Үлкен сандар заңдары деген жалпы атаумен біріккен заңдар тобының негізгі мазмұнын айқындайды.

1-лемма (Марков теңсіздігі). Х — теріс емес кездейсоқ шама болсын, яғни  . Онда кез келген   үшін ,

мұнда М(Х) —Х-тің математикалық күтімі.

1-салдар.  және  қарама-қарсы оқиғалар болғандықтан, Марков теңсіздігін былай жазуға болады:

.

3-мысал. Таяу күні тұрғылықты жердегі суға деген қажеттілік 150 000 литрден асуының ықтималдығын бағалаңыз, егер орташа тәуліктік қажеттілік 50 000 литр болса.

Шешуі:   түріндегі Марков  теңсіздігін қолдана отырып,  бағалауын аламыз.

Жауабы:  .

4-мысал. Берілен аймақта жылына ашық күндердің орташа саны  90-ға тең. Осы аймақта жыл бойы  ашық күндердің санының 240-тан аспауының ықтималдығын бағалаңыз.

Шешуі:   теңсіздігіне сәйкес,

теңсіздігі орындалады.

Жауабы: .  .

2-лемма. (Чебышев теңсіздігі). Ақырлы дисперсиясы бар кез келген Х  кездейсоқ шамасы үшін және кез келген  үшін .

2-cалдар. Ақырлы дисперсиясы бар кез келген Х  кездейсоқ шамасы үшін және кез келген  үшін

.

Өзара тексеру арқылы тапсырмаларды жеке шешу.

Мұғалім әлсіз оқушыларға көмек көрсетеді.

5-мысал.  Өндірілген бөлшектердің ұзындығы — орташа мәні 50 мм болатын кездейсоқ айнымалы. Бұл мәннің стандартты ауытқуы — 0,2 мм. Өндірілген бөлшектердің орташа ұзындығының абсолюттік мәннен ауытқуы 0,4 мм-ден аспауы ықтималдылығын бағалаңыз.

Шешуі: Ықтималдықты бағалау үшін Чебышев теңсіздігін қолданамыз:

.

.

Жауабы: .

6-мысал. Елді мекендегі орташа тәуліктік электр қуаты 20 000 кВт / сағат, ал стандартты ауытқу — 200 кВт / сағ. Осы елді мекенде  электр энергияның келесі күні қандай тұтынуының ықтималдығы 0,96-нан кем болмауы мүмкін?

Шешуі: Ықтималдықты бағалау үшін Чебышев теңсіздігін қолданамыз:

.

Жоғарыда келтірілген теңсіздіктің оң жағына -тің орнына  мәнін қойып, оны 0,96-дан үлкен немесе тең деп алайық:

.

Демек, бұл елді мекенде электр энергияның тұтынуының ықтималдығы 0,96-нан кем болмауы мүмкін аралығы , яғни

Жауабы: 19 000 –нан  21 000-ға дейінгі аралық.

Алпысов А.К.

Ықтималдықтар теориясы және математикалық статистика элементтері.

Оқу құралы. Павлодар, 2011

www.MatBuro.ru Решебник Кремера по теории вероятностей и математической статистике ©МатБюро — Решение задач по математике, экономике, статистике

Решение задач по теории_веро-ятностей. Часть_2.pdf

5минут

№1. Картоп түйнегінің орташа салмағы 150 граммды құрайды. Кездейсоқ түрде алынатын картоп түйнегінің салмағы 500 граммнан аспауының ықтималдығын бағалаңыз?

Жауабы: .

№2. Берілген елді мекен жеріндегі желдің орташа жылдамдығы 16 км / сағ. Осы елді мекенде желдің жылдамдығы (бір байқаудағы) 80 км / сағаттан аспауының ықтималдығын бағалаңыз.

Жауабы: .

Рефлексия

Оқушылар рефлексия жасайды:

— не білдім, неге үйрендім;

— не түсініксіз болып қалды;

— немен жұмыс жасау қажет.

Негізгі дағдылар мен құндылықтарды талқылау.

Мұғалім сабақты қорытындылайды