Иррациональные уравнения
Алматы қаласы Алмалы ауданы
КММ «№34 гимназиясының»
математика пәнінің мұғалімі
Ли Алла Дмитриевна
Урок по алгебре и началам анализа в 11 классе
Тема урока: «Иррациональные уравнения»
Учитель: Ли Алла Дмитриевна
Тип урока: Урок ознакомления с новым материалом
Цель обучения в соответствии с учебной программой – знать определение иррационального уравнения; уметь решать иррациональные уравнения.
Цель урока:
- Ввести понятие иррационального уравнения.
- Формирование навыки решения иррациональных уравнений
- Развитие у учащихся навыков самостоятельной работы
- Развитие логического мышления.
Структура урока:
- Организационный момент(2минуты).
- Подготовка к изучению нового материала повторением(фронтальный опрос)(6минут).
- Объяснение нового материала (15 минут).
- Закрепление изученного материала (15минут).
- Подведение итогов урока проверкой знания и понимания изученной темы. Оценка ответов учащихся (5минут).
- Постановка домашнего задания (2минуты).
- Организационный момент.
Проверка готовности класса к урока. Озвучивание темы и целей урока.
- Устная работа.
Ответить на вопросы:
- Дать определение уравнения, какие виды уравнений вы знаете?
- Что называется корнем уравнения?
- Дать определение корня n-ой степени.
- Какими свойствами обладает корень n-ой степени?
- Для каких значений переменных равенство верно:
=
Изучение нового материала.
Определение. Иррациональным уравнением называется уравнение, содержащее неизвестное под знаком радикала или под знаком возведения в дробную степень.
Например: = 2х – 1 ; ; 2 ;
.
иррациональных уравнений.
решении иррациональных уравнений корни (радикалы), входящие в уравнения, всегда рассматриваются как арифметические корни. Поэтому нужно определить ОДЗ переменной, содержащейся под знаком корня.
1) = – 1; 2) ;
= 4 – х.
Первое уравнение не имеет решения, т.к. арифметический квадратный корень не существует из отрицательного числа.
Второе уравнение тоже не имеет решения, т.к. ОДЗ двух подкоренных выражений равно 1, и только оно может быть решением уравнения, но при постановке единицы в левую часть уравнения получим 0, что не равно 3.
В третьем уравнении интервалы неотрицательности левой и правой частей не имеют области пересечения. Следовательно, уравнение не имеет решений.
Вывод. Прежде чем приступить к решению иррационального уравнения, нужно выяснить: есть ли смысл решать данное уравнение. Лишь после выяснения вопроса о целесообразности решения данного иррационального уравнения следует определить возможные способы его решения.
Решение простейших иррациональных уравнений.
Решение любого иррационального уравнения сводится к решению рационального уравнения. Рассмотрим, в чем заключается смысл решения иррациональных уравнений общим методом:
а) , где – некоторое число.
Если то уравнение не имеет решения.
Если 0, уравнение равносильно уравнению f(х) = В уравнении данного вида можно ОДЗ не определять. Почему?
б) g(х).
В этом случае при условии g(х) 0возводим обе части уравнения в квадрат.
g(х) 0
Данное уравнение равносильно системе:
=
в)
f(x) = g(x)
Данное уравнение равносильно системе: f(x) 0
g(x) 0.
г)
Если то уравнение не имеет решения.
f(x) 0
Если 0, то уравнение равносильно системе: g(x) 0
4.Решим задачу: Гипотенуза прямоугольного треугольника на 2 м больше катета, а периметр равен 12м. Найдите длину стороны треугольника.
Решение: Пусть первый катет – х см, тогда гипотенуза равна (х+2) см, следовательно второй катет равен см.
Применяя формулу периметра, получим уравнение: 2 + х + ( х+ 2) = 12 (1)
Учащиеся самостоятельно приводят уравнение к виду: = 5 – х. (2)
Возведя обе части уравнения в квадрат и решив квадратное уравнение получим корни: = 8 и = 3. Подставим найденные значения в уравнение (2). Что мы видим?. 8 не удовлетворяет исходному уравнению. Следовательно число 8 является посторонним корнем.
Какое преобразование уравнения привело данное уравнение к новому, не равносильному ему? (возведение в квадрат)
Проверьте, равносильны ли два уравнения: х + 1 = 2 и + 2х + 1 = 4? ( второе уравнение получили возведением первого уравнения в квадрат, но корень второго уравнения (-3) не является корнем первого, следовательно не равносильны)
Ответьте на следующие вопросы:
- Будет ли уравнение, полученное после возведения обеих частей в одну и ту же степень, равносильно данному?
- Какие корни называются посторонними для данного уравнения?
- Почему проверка иррационального уравнения является обязательным этапом его решения?
Выполнение упражнений по теме урока.
- =5
- —
- Подведение итогов урока.
На сегодняшнем уроке мы познакомились с иррациональным уравнением и некоторыми методами решения иррационального уравнения.
Пожалуйста, поделитесь своими мыслями о сегодняшнем занятии. Начните со слов: — я узнал … ; -я почувствовал …; -я заметил, что …; и т.п.
- Домашнее задание:
