Сан аралықтарының бірігуі мен қиылысуы

Кенжешова Ылипа

Сан аралықтарының бірігуі мен қиылысуы – математикалық жиындар теориясының негізгі ұғымдарының бірі. Бұл ұғымдар жиындардың өзара байланысын анықтап, олардың қандай элементтерден тұратынын көрсетеді.

Сан аралықтарының бірігуі (A∪BA \cup BA∪B)

Бірігуі – екі сан аралығының барлық элементтерін қамтитын жиын. Яғни, AAA мен BBB-ге кіретін барлық элементтер A∪BA \cup BA∪B-ге жатады.

Математикалық анықтама:
A∪B={x∣x∈A немесе x∈B}A \cup B = \{ x \mid x \in A \text{ немесе } x \in B \}A∪B={x∣x∈A немесе x∈B}

Мысал:

1. A=[1,5],B=[4,8]A = [1, 5], B = [4, 8]A=[1,5],B=[4,8]
   • Бірігуі: A∪B=[1,8]A \cup B = [1, 8]A∪B=[1,8]
2. A=(2,4),B=[3,6]A = (2, 4), B = [3, 6]A=(2,4),B=[3,6]
   • Бірігуі: A∪B=(2,6]A \cup B = (2, 6]A∪B=(2,6]

Сан аралықтарының қиылысуы (A∩BA \cap BA∩B)

Қиылысуы – екі сан аралығына ортақ элементтерден тұратын жиын. Яғни, AAA-ның да, BBB-нің де элементі болып табылатын сандардан құралады.

Математикалық анықтама:
A∩B={x∣x∈A және x∈B}A \cap B = \{ x \mid x \in A \text{ және } x \in B \}A∩B={x∣x∈A және x∈B}

Мысал:

1. A=[1,5],B=[4,8]A = [1, 5], B = [4, 8]A=[1,5],B=[4,8]
   • Қиылысуы: A∩B=[4,5]A \cap B = [4, 5]A∩B=[4,5]
2. A=(2,4),B=[3,6]A = (2, 4), B = [3, 6]A=(2,4),B=[3,6]
   • Қиылысуы: A∩B=[3,4)A \cap B = [3, 4)A∩B=[3,4)

Сан аралықтарының бірігуі мен қиылысуын нақтылайтын ережелер:

1. Егер AAA мен BBB сан аралықтары бір-бірін жаппаса (ортақ бөлігі болмаса):
   • Бірігуі A∪BA \cup BA∪B – бұл екі аралықтың қосындысы.
   • Қиылысуы A∩B=∅A \cap B = \emptysetA∩B=∅ (бос жиын).

   Мысал:
   A=[1,3],B=[5,7]A = [1, 3], B = [5, 7]A=[1,3],B=[5,7]:

   • A∪B=[1,3]∪[5,7]A \cup B = [1, 3] \cup [5, 7]A∪B=[1,3]∪[5,7]
   • A∩B=∅A \cap B = \emptysetA∩B=∅
2. Егер AAA сан аралығы BBB-нің ішінде болса:
   • Бірігуі A∪B=BA \cup B = BA∪B=B.
   • Қиылысуы A∩B=AA \cap B = AA∩B=A.

   Мысал:
   A=[2,4],B=[1,5]A = [2, 4], B = [1, 5]A=[2,4],B=[1,5]:

   • A∪B=[1,5]A \cup B = [1, 5]A∪B=[1,5]
   • A∩B=[2,4]A \cap B = [2, 4]A∩B=[2,4]

Графикалық түсіндірме:

Сан аралықтарын түсіну үшін координаталық түзуге орналастырған ыңғайлы. Мысалы:

• Бірігу – түзу бойында екі аралықты қосқанда, барлық қамтылған бөлікті бояу.
• Қиылысу – екі аралықтың ортақ бөлігін ғана бояу.