Сан аралықтарының бірігуі мен қиылысуы

Кенжешова Ылипа

Сан аралықтарының бірігуі мен қиылысуы – математикалық жиындар теориясының негізгі ұғымдарының бірі. Бұл ұғымдар жиындардың өзара байланысын анықтап, олардың қандай элементтерден тұратынын көрсетеді.

Сан аралықтарының бірігуі (\(A \cup B\))

Бірігуі – екі сан аралығының барлық элементтерін қамтитын жиын. Яғни, \(A\) мен \(B\)-ге кіретін барлық элементтер \(A \cup B\)-ге жатады.

Математикалық анықтама:
\[ A \cup B = \{ x \mid x \in A \text{ немесе } x \in B \} \]

Мысал:

1. \(A = [1, 5], B = [4, 8]\)
   • Бірігуі: \(A \cup B = [1, 8]\)
2. \(A = (2, 4), B = [3, 6]\)
   • Бірігуі: \(A \cup B = (2, 6]\)

Сан аралықтарының қиылысуы (\(A \cap B\))

Қиылысуы – екі сан аралығына ортақ элементтерден тұратын жиын. Яғни, \(A\)-ның да, \(B\)-нің де элементі болып табылатын сандардан құралады.

Математикалық анықтама:
\[ A \cap B = \{ x \mid x \in A \text{ және } x \in B \} \]

Мысал:

1. \(A = [1, 5], B = [4, 8]\)
   • Қиылысуы: \(A \cap B = [4, 5]\)
2. \(A = (2, 4), B = [3, 6]\)
   • Қиылысуы: \(A \cap B = [3, 4)\)

Сан аралықтарының бірігуі мен қиылысуын нақтылайтын ережелер:

1. Егер \(A\) мен \(B\) сан аралықтары бір-бірін жаппаса (ортақ бөлігі болмаса):
   • Бірігуі \(A \cup B\) – бұл екі аралықтың қосындысы.
   • Қиылысуы \(A \cap B = \emptyset\) (бос жиын).

   Мысал:
   \(A = [1, 3], B = [5, 7]\):

   • \[ A \cup B = [1, 3] \cup [5, 7] \]
   • \[ A \cap B = \emptyset \]
2. Егер \(A\) сан аралығы \(B\)-нің ішінде болса:
   • Бірігуі \(A \cup B = B\).
   • Қиылысуы \(A \cap B = A\).

   Мысал:
   \(A = [2, 4], B = [1, 5]\):

   • \[ A \cup B = [1, 5] \]
   • \[ A \cap B = [2, 4] \]

Графикалық түсіндірме:

Сан аралықтарын түсіну үшін координаталық түзуге орналастырған ыңғайлы. Мысалы:

• Бірігу – түзу бойында екі аралықты қосқанда, барлық қамтылған бөлікті бояу.
• Қиылысу – екі аралықтың ортақ бөлігін ғана бояу.