Производные показательной фукнции

Объяснение. Графики показательной функции изображались в виде гладких линий (т.е. без изломов), к которым в каждой точке можно провести касательную. Но существование касательной к графику функции в точке с абсциссой равносильно её дифференцируемое в х0. Поэтому естественно предположить, что во всех точках области определения она дифференцируема. Нарисуем несколько графиков функции у=ах для у=2х, у=Зх, у=2,Зх (Приложение №1)

Проведём к ним касательные в точке с абсциссой . Касательные расположены к графикам различны. Измеряем углы наклона каждой из них к оси абсцисс и убеждаемся, что углы наклона этих касательных приблизительно равны 35°…51°, т.е. с увеличением а угловой коэффициент к графику в точке М(0;1) постепенно возрастает от tg35 до tg51.

Существует такое число, болышее 2 и меньшее 3, что показательная функция у=ах в точке 0 имеет производную равную 1. Основание этой функции принято обозначать буквой е. Число е иррационально, и поэтому записывается в виде бесконечной десятичной дроби

e ≈ 2,7182818284…

С помощью ЭВМ найдено более 2 тысяч десятичных знаков числа е. Функцию называют экспонентой.

Теорема 1. Функция дифференцируема в каждой точке области определения и

— натуральный логарифм по основанию е. , ,

Теорема 2. Показательная функция дифференцируема в каждой точке области определения и

Примеры:

  1. ,
  2. ,

 

Решите задание:

А)

Б)

В)

Г)

 

Вопросы:

а) Чему равна производная функции ?

б) Какую функцию называют экспонентой?

в) Определение натурального логарифма.

 

Домашняя работа: Найти производные функций:

  1. у’= (3 ех)’
  2. у’= (е )’
  3. у’= (3 — е х )
  4. у’ = (5 е – х – х2 )’

 

Читайте также:

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *