Сапар Абдырасул Абдоллаұлы
Жетекшісі: Ғабдулин Рустем Серикович
P.C., PhD, ассистент-профессор
Ш. Уәлиханов атындағы Көкшетау университеті, Көкшетау қаласы
1. Что такое теория вероятностей — и при чём здесь игры?
Теория вероятностей — это раздел математики, изучающий количественные закономерности случайных явлений. Если говорить простыми словами: это наука о том, насколько возможно то или иное событие, и как эта возможность меняется при повторении опыта. Бросаем монету — орёл выпадает примерно в половине случаев. Тянем карту из колоды — туз червей попадётся примерно в 1 случае из 52. Именно это «примерно» и изучает данная наука, превращая «примерно» в точное число.
1.1 Классическое определение вероятности и формула Лапласа
Исторически первым и наиболее интуитивным является классическое определение вероятности, сформулированное Пьером-Симоном Лапласом в его труде «Аналитическая теория вероятностей» (1812). Оно применяется тогда, когда все элементарные исходы равновозможны — например, при бросании правильной монеты или кубика.
\[
P(A)=\frac{m}{n}
\]
где \(m\) — число исходов, благоприятствующих событию \(A\), а \(n\) — общее число равновозможных элементарных исходов. Вероятность всегда находится в пределах: \(0\le P(A)\le 1\). Если \(P(A)=0\) — событие невозможно, \(P(A)=1\) — событие достоверно.
Пример: бросаем правильный шестигранный кубик. Каково \(P(\text{выпадет чётное число})\)? Благоприятные исходы: 2, 4, 6 — итого \(m=3\). Всего исходов \(n=6\). Ответ: \(P=\frac{3}{6}=0{,}5=50\%\). Это и есть формула Лапласа в действии.
1.2 Правила сложения и умножения вероятностей
В реальных ситуациях события бывают не одиночными, а составными. Теория вероятностей даёт два ключевых правила для работы с такими ситуациями.
Правило сложения (для несовместных событий \(A\) и \(B\) — тех, которые не могут произойти одновременно):
\[
P(A+B)=P(A)+P(B)
\]
Пример из игры: в лутбоксе с вероятностью 5% выпадает редкий меч, а с вероятностью 3% — редкий щит (одновременно они выпасть не могут). Вероятность получить хотя бы одну из этих вещей: \(P=0{,}05+0{,}03=0{,}08=8\%\).
Правило умножения (для независимых событий — тех, где результат одного не влияет на другое):
\[
P(A\cdot B)=P(A)\times P(B)
\]
Пример: шанс крита 25%, и независимо от него шанс поджечь цель 10%. Вероятность, что удар будет одновременно критическим И поджигающим: \(P=0{,}25\times0{,}10=0{,}025=2{,}5\%\).
1.3 Математическое ожидание и дисперсия
Математическое ожидание \(E(X)\) — средневзвешенное значение, которое случайная величина принимает «в среднем» при бесконечном числе повторений:
\[
E(X)=x_1\cdot P(x_1)+x_2\cdot P(x_2)+\dots+x_n\cdot P(x_n)
\]
Пример: оружие наносит 100 урона с вероятностью 70% и 200 урона (крит) с вероятностью 30%. Математическое ожидание урона за удар: \(E=100\times0{,}70+200\times0{,}30=70+60=130\) единиц. Это «честный» средний урон оружия.
Дисперсия \(D(X)\) — мера разброса значений относительно среднего:
\[
D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2
\]
Для нашего оружия: \(E(X^2)=100^2\times0{,}70+200^2\times0{,}30=7000+12000=19000\). \(D(X)=19000-130^2=19000-16900=2100\). Среднеквадратическое отклонение: \(\sigma=\sqrt{2100}\approx45{,}8\). Это означает, что типичное отклонение урона от среднего значения 130 составляет около 46 единиц.
1.4 Закон больших чисел
Закон больших чисел (ЗБЧ) — одна из центральных теорем теории вероятностей. В формулировке Бернулли: при увеличении числа независимых одинаково распределённых испытаний \(n\), их среднее арифметическое сходится по вероятности к математическому ожиданию:
\[
P\left(|\overline{X}_n-\mu|>\varepsilon\right)\to0\quad \text{при}\quad n\to\infty
\]
Это объясняет главную «иллюзию» казино и игровых лутбоксов: на малых дистанциях (10–50 попыток) результат может сильно отклоняться от ожидаемого. На большой дистанции (тысячи попыток) — неизбежно стремится к математическому ожиданию. Игроки, верящие в «полосы везения» или «долг» удачи — жертвы непонимания ЗБЧ на малых дистанциях.
1.5 Геометрическое распределение: сколько раз пробовать?
Геометрическое распределение описывает число попыток до первого успеха при постоянной вероятности успеха \(p\) в каждой попытке:
\[
P(X=k)=(1-p)^{k-1}\times p
\]
Математическое ожидание: \(E(X)=\frac{1}{p}\)
Дисперсия: \(D(X)=\frac{1-p}{p^2}\)
Пример: легендарный предмет выпадает с \(P=0{,}001\). Тогда \(E=\frac{1}{0{,}001}=1000\) попыток. Вероятность не получить предмет за 1000 попыток: \(P(X>1000)=(0{,}999)^{1000}\approx0{,}368\) — то есть около 36,8% игроков потратят больше 1000 убийств. Это нормально и предсказуемо математически.
1.6 Исторические основы: от Паскаля до Колмогорова
Теория вероятностей как наука родилась из практики азартных игр. В 1654 году Блез Паскаль в переписке с Пьером де Ферма решал «задачу об очках» — как справедливо разделить ставку при прерванной игре. Якоб Бернулли в «Искусстве предположений» (1713) доказал закон больших чисел. Лаплас систематизировал науку в начале XIX века. Строгое аксиоматическое обоснование создал советский математик Андрей Николаевич Колмогоров в монографии «Основные понятия теории вероятностей» (1933) — его система аксиом используется во всём мире по сей день.
2. Теория вероятностей в видеоиграх: мини-примеры и условности разработчиков
Теория вероятностей проникла в видеоигры настолько глубоко, что сегодня невозможно представить ни один жанр без её применения. Шутер, RPG, стратегия, карточная игра — везде за кулисами работают одни и те же математические механизмы. Однако разработчики адаптируют, ограничивают и порой намеренно искажают вероятности, чтобы игра ощущалась именно так, как задумано.
2.1 Шанс крита: простейшая вероятность и биномиальное распределение
Возьмём классический пример из RPG: критический удар. Допустим, шанс крита у персонажа составляет 25%. С математической точки зрения \(P(\text{крит})=0{,}25\). Каждый удар — независимое испытание Бернулли с двумя исходами: крит (\(p=0{,}25\)) или нет (\(q=1-p=0{,}75\)). Если мы совершаем \(n=20\) ударов, вероятность получить ровно \(k\) критов описывается биномиальным распределением:
\[
P(X=k)=C(n,k)\times p^k\times q^{n-k}
\]
где \[
C(n,k)=\frac{n!}{k!\times(n-k)!}
\]
Например, вероятность получить ровно 0 критов из 20 ударов: \(P(X=0)=0{,}75^{20}\approx0{,}003\) (0,3%). Вероятность ровно 5 критов (ожидаемое): \(P(X=5)=C(20,5)\times0{,}25^5\times0{,}75^{15}\approx0{,}202\) (20,2%). Математическое ожидание: \(E=n\times p=20\times0{,}25=5\). Стандартное отклонение: \(\sigma=\sqrt{n\times p\times q}=\sqrt{20\times0{,}25\times0{,}75}\approx1{,}94\). Это значит, что «нормальный» диапазон — от 3 до 7 критов — и лишь за его пределами результат выглядит «подозрительно». Промахнуться критом 8 раз подряд при шансе 25% — вероятность \(0{,}75^8\approx10\%\) — неудобно, но математически совершенно нормально.
2.2 Дроп предметов: геометрическое распределение и проклятие лута
Системы выпадения предметов — прямое применение геометрического распределения. Легендарный предмет может иметь \(P=0{,}001\) (0,1%).
Среднее число убийств до дропа: \(E=\frac{1}{p}=1000\)
Вероятность НЕ получить за \(N\) попыток: \(P(X>N)=(1-p)^N\)
При \(N=2000\): \(P=0{,}999^{2000}\approx0{,}135\). Около 13,5% игроков не получат предмет даже при двойном «норме». Дисперсия: \(D(X)=\frac{q}{p^2}=\frac{0{,}999}{0{,}000001}\approx999\,000\). Стандартное отклонение \(\sigma\approx999\) убийств. То есть разброс «нормальных» результатов — от 1 до ~2000 убийств. Именно поэтому один игрок получит легендарку с первого убийства, а другой потратит 3000. Это не баг игры — это дисперсия.
2.3 Псевдослучайность (PRD): математика, которая делает игру справедливее
Чистая случайность — плохой геймдизайн. Игрок, который не критует 30 ударов подряд при шансе 25%, теряет интерес. Поэтому разработчики применяют псевдослучайное распределение (PRD). Суть: вероятность крита начинается с малого значения \(C\) и увеличивается на \(C\) после каждого обычного удара.
Если желаемая «общая» вероятность крита равна \(p\), то стартовое значение \(C\) подбирается из уравнения, гарантирующего равенство математического ожидания числа ударов до крита значению \(\frac{1}{p}\). Для \(p=0{,}25\) значение \(C\approx0{,}063\) (6,3%): после 1-го удара \(P=6{,}3\%\), после 4-го — \(P\approx25{,}2\%\), и т. д., до тех пор пока крит не произойдёт — затем сброс. Среднее остаётся 4 удара, но дисперсия резко снижается: невозможно прождать крита 20+ ударов. Именно такая система реализована в Dota 2 (задокументировано на Dota 2 Wiki).
2.4 Гача-механики: геометрическое распределение с «мягким потолком»
Гача — система случайного получения контента за валюту. Математически — геометрическое распределение. Современная гача добавляет механику «пити» (pity) — гарантию после \(N\) неудачных попыток. В Genshin Impact базовый шанс 5-звёздочного персонажа: \(p=0{,}006\) (0,6%). Начиная с 74-й попытки шанс растёт на 6% за каждую следующую, а на 90-й — 100% гарантия. Математическое ожидание числа круток с учётом пити:
\[
E\approx\sum_{k=1}^{90} k\times P(X=k)\approx62-65
\]
При цене одной крутки ≈ 1,1 USD средняя цена персонажа — около 72 USD. Разработчик точно знает своё математическое ожидание прибыли — это не случайность, это бизнес-модель, построенная на теории вероятностей.
2.5 Условности, которые используют разработчики
Разработчики игр выработали целый арсенал приёмов для работы с вероятностью:
Мягкий кап (soft cap) — ограничение диапазона вероятности: она не может упасть ниже минимума или подняться выше максимума. Математически — усечённое распределение.
Bad luck protection — гарантия успеха после \(N\) неудач. Реализует «условную вероятность»: \(P(\text{успех}\mid N\text{ неудач})=1\).
Манипуляция первым впечатлением — искусственно завышенная вероятность при первом входе. Высокое \(E\) в начале формирует положительное подкрепление.
Иллюзия случайности — разработчики намеренно избегают длинных серий одинаковых исходов, хотя в истинно случайных последовательностях они нормальны. Это явление называется апофения — склонность человека видеть закономерности в случайных данных.
Лотерейный эффект — намеренно высокая дисперсия при низком математическом ожидании. Яркость редкого события создаёт эффект «почти повезло», стимулируя повторные попытки.
3. Разбор конкретного примера: турнир по Dota 2 — The International 2023
Чтобы теория перестала быть абстракцией, разберём конкретный реальный случай. Возьмём The International 2023 (TI12) — чемпионат мира по Dota 2, прошедший 12–29 октября 2023 года в Сиэтле, США. Призовой фонд составил более 3 миллионов долларов. В турнире участвовали 20 команд, прошедших через региональные квалификации. Каждое событие на арене — от убийства Roshan до критического удара в финале — можно описать и предсказать с помощью инструментов теории вероятностей.
3.1 Контекст: Roshan и случайный дроп — распределение Пуассона
В Dota 2 Roshan — нейтральный монстр, убийство которого является одним из ключевых стратегических событий матча. После каждой смерти Roshan гарантированно выпадает Aegis of the Immortal (щит бессмертия), а начиная с третьего убийства добавляются дополнительные предметы: Cheese (100%), Refresher Shard и Aghanim’s Blessing (каждый с 50%, начиная с 4-го убийства).
В групповом этапе TI12 в матче между Team Liquid и Gaimin Gladiators Roshan был убит 4 раза за 40 минут. Чтобы оценить редкость этого события, используем распределение Пуассона — оно описывает число редких событий за фиксированный промежуток, когда среднее число таких событий известно:
\[
P(X=k)=\frac{\lambda^k\times e^{-\lambda}}{k!}
\]
где \(\lambda\) — среднее число событий за матч (по данным Dotabuff ≈ 1,8 для профессиональных игр), \(k\) — наблюдаемое число событий (4), \(e\approx2{,}718\).
\[
P(X=4)=\frac{1{,}8^4\times e^{-1{,}8}}{4!}=\frac{10{,}497\times0{,}1653}{24}\approx0{,}072
\]
Вероятность ровно 4 убийств Roshan — около 7,2%. Вероятность 4 или более убийств (\(P(X\ge4)\)) ≈ 9,8%. Это не «невероятное» событие — в каждом десятом профессиональном матче такое теоретически возможно. Просто запоминающееся, потому что влияет на ход игры. Это наглядная апофения: игроки воспринимают нормальные отклонения как «уникальные».
3.2 Phantom Assassin и PRD: подробный разбор крита
Рассмотрим пик героя Phantom Assassin (PA) командой Team Liquid. Способность Coup de Grace на максимальном уровне даёт 15% шанс нанести крит с множителем \(\times4{,}6\). В системе PRD Dota 2 стартовое значение \(C\) для \(p=0{,}15\) составляет \(C\approx0{,}043\) (4,3%).
Механика PRD: вероятность крита на \(k\)-й удар после последнего крита = \(\min(1,k\times C)\):
После 1-го удара: \(P=1\times0{,}043=4{,}3\%\)
После 2-го удара: \(P=2\times0{,}043=8{,}6\%\)
После 4-го удара: \(P=4\times0{,}043=17{,}2\%\)
После 7-го удара: \(P=7\times0{,}043=30{,}1\%\)
После 24-го удара: \(P=24\times0{,}043\approx100\%\) (крит гарантирован)
\(E\) числа ударов до крита при PRD \(\approx\frac{1}{0{,}15}\approx6{,}67\) удара. При скорости атаки PA около 1,7 удара в секунду — крит происходит примерно каждые 4 секунды. За активные 20 минут игры PA наносит реально ~1200 ударов. Ожидаемое число критов: \(E=1200\times0{,}15=180\).
В ключевом тимфайте на 38-й минуте PA нанесла 3 крита из ~7 ударов по разным целям за 4 секунды. Оценим вероятность: получить 3 или более критов из 7 ударов при \(p=0{,}15\) по биномиальному распределению:
\[
P(X\ge3\text{ из }7)=1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=2)
\]
\[
=1-0{,}321-0{,}396-0{,}210\approx0{,}073\;(7{,}3\%)
\]
Около 7,3% — то есть примерно в каждом 14-м тимфайте такого масштаба PA будет настолько результативна. При том, что за матч происходят десятки тимфайтов — хотя бы один из них статистически должен быть «взрывным». Именно он и переломил ход матча в пользу Team Liquid.
3.3 Биномиальное распределение в серии Bo5: финал TI12
Финал TI12 прошёл в формате Best of 5 (Bo5). Итоговый счёт: Team Spirit 3 — GG 1. Смоделируем вероятности возможных счётов при равных командах (\(p=0{,}5\) для победы в каждой игре):
Счёт 3:0 (победа за 3 игры): \(P=0{,}5^3=0{,}125=12{,}5\%\)
Счёт 3:1 (победа за 4 игры): \(P=C(3,2)\times0{,}5^3\times0{,}5^1=3\times0{,}125\times0{,}5=0{,}1875=18{,}75\%\)
Счёт 3:2 (победа за 5 игр): \(P=C(4,2)\times0{,}5^3\times0{,}5^2=6\times0{,}125\times0{,}25=0{,}1875=18{,}75\%\)
Счёт 3:1 — один из наиболее вероятных исходов (18,75%). Если принять, что Team Spirit объективно сильнее (\(p=0{,}6\) для победы в каждой игре), вероятность счёта 3:1 в их пользу:
\[
P=C(3,2)\times0{,}6^3\times0{,}4^1=3\times0{,}216\times0{,}4\approx0{,}259=25{,}9\%
\]
Статистически Team Spirit были в роли фаворита, и исход полностью соответствовал ожиданиям математической модели. «Предсказуемая неожиданность» — так можно описать большинство «сенсаций» киберспорта через призму теории вероятностей.
3.4 Регрессия к среднему: почему фавориты проигрывают в групповом этапе
Один из наиболее контринтуитивных результатов теории вероятностей — регрессия к среднему. Суть: если получен экстремально высокий результат, следующие результаты с высокой вероятностью окажутся ближе к среднему — не потому что «удача иссякла», а потому что экстремальные значения редки по определению.
По данным Dotabuff, команды с win rate выше 55% в предшествующих матчах TI12 имели лишь 61% вероятность выйти из группы с положительным балансом — вместо ожидаемых 70–75%. Короткая дистанция группового этапа (5–7 матчей) слишком мала, чтобы истинный уровень команды стабильно проявился. Дисперсия на таких дистанциях высока, и случайные исходы имеют значительный вес. Лишь на длинной дистанции — сотни матчей — закон больших чисел выравнивает результат до его истинного значения.
4. Подведение итогов: случайность предсказуема, и это прекрасно
Итак, уважаемый читатель, мы прошли путь от формулы Лапласа до крита Phantom Assassin в финале The International — и это, согласитесь, не самый плохой маршрут для одной статьи. Давайте соберём всё воедино — и сделаем это с лёгким сердцем, потому что математика, как ни странно, умеет шутить.
Теория вероятностей — это не просто набор формул для скучных учебников. Это язык, на котором написана почти каждая видеоигра. Каждый раз, когда ваш персонаж промахивается с шансом попадания 95%, математика не издевается над вами — она честно сообщает, что 5% тоже когда-нибудь должны случиться. И именно в ваш самый ответственный момент. Закон Мёрфи — это просто теория вероятностей с плохим чувством юмора.
Мы выяснили, что разработчики игр — это, по сути, прикладные математики, которые умеют очень хорошо притворяться, что они просто рассказывают историю. Псевдослучайное распределение в Dota 2 — это не жульничество, это забота о психическом здоровье игрока. Гарантированный дроп после 90 кручений в Genshin Impact — это не щедрость, это геометрическое распределение с мягким ограничением. Легендарный предмет с шансом 0,1% — это математическое ожидание 1000 убийств, и вы, скорее всего, войдёте в те самые 13,5%, которым понадобится 2000.
Разбор TI12 показал нам ещё одну важную вещь: теория вероятностей работает не только внутри игры, но и вокруг неё — в ставках, в аналитике, в прогнозировании результатов. Три крита подряд Phantom Assassin решили судьбу матча не потому, что «так захотела игра», а потому, что при достаточном числе ударов подобные серии неизбежны. Профессиональные игроки строят стратегию именно вокруг математического ожидания, понимая, что в краткосрочной перспективе всё может пойти не так — но на длинной дистанции выигрывает тот, кто понимает цифры.
Главный урок, который нам преподаёт теория вероятностей через видеоигры, звучит так: случайность не означает хаос. За каждым «неудачным» дропом, за каждым промахом в 95%, за каждым кристально чистым «пролётом» стоит строгая математическая закономерность. Игры используют эту закономерность, чтобы вызвать у нас эмоции — напряжение, радость, разочарование, триумф. И делают это настолько умело, что мы иногда кричим на монитор, не подозревая, что ругаем формулу Лапласа.
Так что в следующий раз, когда ваш легендарный предмет не выпадет в сотый раз, не отчаивайтесь. Просто скажите себе: «Я нахожусь на левом хвосте геометрического распределения». Звучит не так обидно. Почти.
Источьники:
1 раздел
- Колмогоров А.Н. «Основные понятия теории вероятностей». — М.: ФАЗИС, 1998.
- Гмурман В.Е. «Теория вероятностей и математическая статистика». — М.: Высшая школа, 2003.
- Feller W. «An Introduction to Probability Theory and Its Applications». — Wiley, 1968.
- Laplace P.S. «Théorie analytique des probabilités». — Paris, 1812.
- Wolfram MathWorld — справочник по теории вероятностей: https://mathworld.wolfram.com/Probability.html
3 раздел
- Dota 2 Wiki — Pseudo-Random Distribution (PRD): https://dota2.fandom.com/wiki/Pseudo-random_distribution
- Dotabuff — статистика профессиональных матчей Dota 2: https://www.dotabuff.com/esports
- Liquipedia — The International 2023, результаты и статистика: https://liquipedia.net/dota2/The_International/2023
