Сан аралықтарының бірігуі мен қиылысуы

Кенжешова Ылипа

Сан аралықтарының бірігуі мен қиылысуы – математикалық жиындар теориясының негізгі ұғымдарының бірі. Бұл ұғымдар жиындардың өзара байланысын анықтап, олардың қандай элементтерден тұратынын көрсетеді.

Сан аралықтарының бірігуі ($A\cup B$)

Бірігуі – екі сан аралығының барлық элементтерін қамтитын жиын. Яғни, $A$ мен $B$-ге кіретін барлық элементтер $A\cup B$-ге жатады.

Математикалық анықтама:
$A\cup B=\{x\mid x\in A\text{ немесе }x\in B\}$

Мысал:

1. $A=[1,5],B=[4,8]$
   • Бірігуі: $A\cup B=[1,8]$
2. $A=(2,4),B=[3,6]$
   • Бірігуі: $A\cup B=(2,6]$

Сан аралықтарының қиылысуы ($A\cap B$)

Қиылысуы – екі сан аралығына ортақ элементтерден тұратын жиын. Яғни, $A$-ның да, $B$-нің де элементі болып табылатын сандардан құралады.

Математикалық анықтама:
$A\cap B=\{x\mid x\in A\text{ және }x\in B\}$

Мысал:

1. $A=[1,5],B=[4,8]$
   • Қиылысуы: $A\cap B=[4,5]$
2. $A=(2,4),B=[3,6]$
   • Қиылысуы: $A\cap B=[3,4)$

Сан аралықтарының бірігуі мен қиылысуын нақтылайтын ережелер:

1. Егер $A$ мен $B$ сан аралықтары бір-бірін жаппаса (ортақ бөлігі болмаса):
   • Бірігуі $A\cup B$ – бұл екі аралықтың қосындысы.
   • Қиылысуы $A\cap B=\varnothing$ (бос жиын).

   Мысал:
   $A=[1,3],B=[5,7]$:

   • $A\cup B=[1,3]\cup [5,7]$
   • $A\cap B=\varnothing$
2. Егер $A$ сан аралығы $B$-нің ішінде болса:
   • Бірігуі $A\cup B=B$.
   • Қиылысуы $A\cap B=A$.

   Мысал:
   $A=[2,4],B=[1,5]$:

   • $A\cup B=[1,5]$
   • $A\cap B=[2,4]$

Графикалық түсіндірме:

Сан аралықтарын түсіну үшін координаталық түзуге орналастырған ыңғайлы. Мысалы:

• Бірігу – түзу бойында екі аралықты қосқанда, барлық қамтылған бөлікті бояу.
• Қиылысу – екі аралықтың ортақ бөлігін ғана бояу.