ПИФАГОР ТЕОРЕМАСЫ ЖӘНЕ ОНЫҢ ҚОЛДАНЫЛУЫ

• Халил Айгүл Оралбайқызы
  oralbaiqyzya@gmail.com
  М.Х. Дулати атындағы Тараз университетінің студенті,
  Ғылыми жетекші – Сулеймбекова Айнаш,
  Тараз, Қазақстан
  Аннотация: бұл мақалада «Пифагор теоремасының» өзге де салаларда кеңінен қолданылуын және теореманың тарихи маңызы, оның мектеп оқушылары мен инженерлер үшін практикалық қолданыстары, сондай-ақ ғылым мен техникадағы рөлі талданады. Нәтижесінде, Пифагор теоремасының тек теориялық емес, практикалық мәні де айқындалады.
  Кілт сөздер: Пифагор, үшбұрыш, фигура, катет, гипотенуза, квадрат.

«Пифагор» деген кім?
Пифагор ежелгі грек ойшылы, математик, діни және саяси қайраткер, Самос аралығында туылған. Кейін оңтүстік Италиядағы Кротон қаласына көшкен.
Пифагор заттардың мәні сан деп, ал әлемді сандардың гармониялық жүйесімен олардың қатынасы деп есептеген. Пифагор жұп және тақ, жай және құрама, фигуралық және кемел сандарды, арифметикалық, геометриялық және гармониялық пропорциялар мен орта шамалар және кейбір көпбұрыштар мен көпжақтарды салу есептерімен айналысты. Сондайақ математика саласындағы дәлелдеуді геометрияға жүйелі түрде енгізді, тік ьұрышты фигуралардың планиметриясын құрды, ұқсастық ілімін жасады, өзінің есімімен аталған теореманы дәлелдеді.

Ол қандай теорема?
Пифагор теоремасы геометрияның тік бұрышты үшбұрышты қабырғаларының арасындағы байланысты тұжырымдайтын теоремасы.
Пифагор теомерасы қысқаша былай тұжырымдалады: тік бұрышты үшбұрыштың гипотенузасының квадраты катеттері квадратының қосындысына тең.
Пифагор теоремасы. Катеттерге тұрғызылған квадраттар ауданы қосындысы гипотенузаға тұрғызылған квадраттың ауданына тең:

Осы негізгі формуладан a,b катеттерін таба аламыз:

ABC – тікбұрышты үшбұрыш;
a,b – катеттер;
c – гипотенуза.
C
B
A

Сурет 1.1 Пифагор теоремасының дәлелденуі.

Пифагор теоремасына кері теорема.
Үшбұрыштың бір қабырғасының квадраты қалған қабырғасының квадраттарының қосындысына тең болса, онда үшбұрыш тік бұрышты болады.

Сурет 1.2 Пифагор теоремасын төрт бірдей тік үшбұрыштарды қозғау арқылы дәлелдеу.

Сурет 1.3 Фигураларды қозғауға негізделген дәлелдемесі.

Мысал 1.
Берілгені:Тік бұрышты үшбұрышта бір катет 5 см, екінші катет 12 см. Гипотенузаның ұзындығын табыңыз.
Шешімі:
Берілген катеттерді белгілейік:
а = 5 см (бір катет)
b =12 см (екінші катет)
Пифагор теоремасын қолданайық:

Гипотенузаны табамыз:

Жауабы: Гипотенузаның ұзындығы 13 см болады.

Пифагор теоремасын математикадан басқа қандай салаларда қолдануға болады?
Пифагор теоремасы (a² + b² = c²) математикада, геометрияда, физикада және көптеген басқа ғылымдарда кеңінен қолданылады. Мысалы,
Пифагор теоремасының геометрияда саласында қолдануы:
Тік бұрышты үшбұрыштар: Пифагор теоремасы тік бұрышты үшбұрыштың катеттері мен гипотенузасының арасындағы байланысты анықтайды. Бұл кез келген тік бұрышты үшбұрыштың өлшемдерін есептеу үшін қолданылады.
Фигуралардың ауданын есептеу: Тік бұрышты үшбұрыштардан тұратын фигуралардың ауданын табу кезінде Пифагор теоремасын қолдану тиімді. Мысалы, тік бұрышты үшбұрыштармен қоршалған аймақтардың ауданын есептеуде.
Тік бұрышты координаттық жүйе: Координаттық жазықтықта нүктелер арасындағы қашықтықты есептеу үшін, Пифагор теоремасын қолдана отырып, координаттардың айырмасын квадраттарға қосу арқылы анықтайды.
Геометриялық конструкциялар: Тік бұрышты бұрыштарды құру немесе түрлі фигуралардың элементтерін біріктіру кезінде дәлдік үшін Пифагор теоремасын қолдану өте маңызды.
Сызықтық теңдеулер: Тік бұрышты үшбұрыштарды қолдану арқылы сызықтық теңдеулерді график түрінде көрсетуге болады, бұл есептеулер мен визуализацияны жеңілдетеді.

Пифагор теоремасы физикада бірнеше маңызды салаларда қолданылады:
Векторларды қосу: Күштер, жылдамдықтар, және қозғалыс векторларын қосу кезінде Пифагор теоремасын пайдалану арқылы векторлардың модульдерін (құраушыларын) есептеуге болады. Мысалы, тік бұрышты компоненттерді қосқанда.
Қозғалыс анализі: Нысанның қозғалыс траекториясын және оның горизонтальды және вертикальды компоненттерін зерттеу кезінде. Егер нысан белгілі бір бұрышпен жылжыса, Пифагор теоремасы оның қозғалыс векторын анықтауға көмектеседі.
Энергия: Механикалық энергияның (потенциалды және кинетикалық) сақталу заңын қолдануда Пифагор теоремасы нысанның биіктігін және жылдамдығын анықтауға көмектеседі.
Оптика: Оптикалық құрылғыларда (мысалы, линзалар) жарықтың түсу бұрышын және шағылу бұрышын анықтағанда.
Тригонометрия: Тік бұрышты үшбұрыштар арқылы тригонометриялық функцияларды анықтауда, бұл физикалық есептерді шешуге мүмкіндік береді.
Солар энергиясы: Күн панельдерінің орнатылуын жоспарлауда, күн сәулесінің көлбеуінен тиімділік есептеулерінде.

Пифагор теоремасы тіпті компьютерлік графикада бірнеше маңызды аспектілерде қолданылады:
Нүктелер арасындағы қашықтықты есептеу: Графикалық элементтер мен нысандар арасындағы қашықтықты анықтау. Бұл, мысалы, объектілерді орналастыруда, соқтығысу детекциясында және анимацияларда қажет.
Векторларды өңдеу: Графикалық нысандардың бағыттарын, жылдамдықтарын және қозғалыс векторларын есептеуде Пифагор теоремасы қолданылып, векторлық компоненттерді анықтауға мүмкіндік береді.
3D модельдеу: Үшөлшемді объектілердің өлшемдерін және пропорцияларын жобалау кезінде, нысандар арасындағы қашықтықты есептеу үшін.
Камера мен перспектива: Камераның позициясын, бағытын және көрініс бұрышын есептеу үшін. Пифагор теоремасы көмегімен объектілердің камераға дейінгі қашықтығын анықтауға болады.
Сызықтар мен фигураларды салу: Тік бұрышты үшбұрыштар арқылы сызықтар мен фигуралардың арасындағы қарым-қатынастарды есептеу, бұл графикалық интерфейстерді жобалау кезінде маңызды.
Жарық пен көлеңке: Жарықтың нысандарға түсу бұрышын және көлеңкелердің ұзындығын анықтауда, объектінің формасын және позициясын есептеу.

Пифагор теоремасының күнделікті өмірімізге қандай қажеттілігі бар?
Пифагор теоремасы құрылыс саласында да қолданылады:
Тік бұрышты бұрыштарды анықтау: Құрылыс барысында тік бұрышты бұрыштарды дәл жасау үшін Пифагор теоремасын қолдану. Мысалы, құрылыс алаңының немесе бөлмелердің тік бұрыштығына тексеру жүргізу.
Көрнекілік: Тік бұрышты үшбұрыштар арқылы жер учаскесін немесе құрылыс нысанын жобалау кезінде, Пифагор теоремасы көмегімен қашықтықтарды анықтап, жобаның дәлдігін арттыру.
Гипотенуза мен катеттерді есептеу: Құрылыс конструкцияларының, мысалы, шатырлардың немесе баспалдақтардың гипотенузасын және катеттерін анықтау үшін.
Сызу мен проектілеу: Архитекторлар мен дизайнерлер құрылыс жобаларын жасаған кезде Пифагор теоремасын қолдана отырып, нысандардың дұрыс пропорцияларын және құрылымдарын есептейді.
Нысанның тұрақтылығын тексеру: Структуралық элементтердің, мысалы, колонналардың немесе арқалықтардың орналасуын тексеру үшін.
Жобалау: Нысанның әртүрлі бөліктерінің (есік, терезе, қабырға) геометриялық өлшемдерін дұрыс есептеу үшін.

Пифагор теоремасы навигацияда бірнеше маңызды аспектіде қолданылады:
Нүктелер арасындағы қашықтықты есептеу: Карталарда немесе GPS жүйелерінде екі нүкте арасындағы қашықтықты анықтау үшін. Нүктелердің координаттары белгілі болса, Пифагор теоремасын қолданып, горизонтальды және вертикальды компоненттерді пайдалана отырып, қашықтықты есептеуге болады.
Бағытты анықтау: Көлденең және вертикаль компоненттер арқылы қозғалыс бағытын анықтау. Пифагор теоремасы көмегімен векторлардың бағытын есептеуге болады.
Тасымалдау маршруттарын жоспарлау: Әр түрлі нүктелер арасында тиімді маршруттарды табу кезінде, геометриялық есептеулер жасау үшін. Мысалы, қашықтықтарды қысқарту үшін.
Картографиялық проекциялар: Географиялық карталарда нүктелердің орналасуын және арақашықтықтарын дәл анықтау үшін.

Пифагор теоремасы инженерияда көптеген маңызды салаларда қолданылады. Оның кейбір негізгі қолданылуы:
Структуралық инженерия: Тік бұрышты үшбұрыштар арқылы құрылыс конструкцияларының беріктігін және тұрақтылығын есептеу. Мысалы, арқалықтардың немесе колонналардың өлшемдерін анықтау.
Механикалық инженерия: Күштер мен моменттерді есептеу кезінде, күш векторларының модульдерін анықтау үшін. Тік бұрышты компоненттерді қосу арқылы механикалық жүйелердің жұмысын анализдеу.
Электротехника: Күрделі электрлік схемаларда, векторлы электрлік ағындарды анықтау кезінде. Жиілік, ток және кернеу арасындағы қатынастарды зерттеу үшін.
Геодезия: Жер бетінің пішінін және көлемін зерттеу кезінде Пифагор теоремасын қолдану. Топографиялық карталарды жасағанда, қашықтықтарды дәл анықтау.
Құрылыс жобалары: Жобалау мен сызу кезінде, элементтердің пропорцияларын және орнын анықтау үшін. Мысалы, ғимараттардың немесе инженерлік нысандардың конструкцияларын жобалау.
Технологиялық процесстер: Процесстердің тиімділігін және өнімділігін арттыру үшін, жобаларды және механизмдерді оптимизациялауда.

Енді осы салалардың кейбіріне мысал келдіре кетсек:
Пифагор теоремасын техникалық құрылғыларда экранның диагоналін табу үшін қолдануға болады. Экранның ені мен биіктігі тік бұрышты үшбұрыштың катеттері ретінде қарастырылады. Мысалыға: егер экранның ені 16 дюйм және биіктігі 9 дюйм болса, диагональ d келесідей есептеледі:

Сондықтан, экранның диагоналі шамамен 18.36 дюйм болады.

Тіпті спорт саласында да Пифагор теоремасын қолдануға болады. Мысалы: допты 30 метр қашықтыққа лақтырған спортшы нысанадан 40 метр биіктікте орналасқан. Доптың бастапқы орнынан нысанаға дейінгі арақашықтықты (гипотенуза) табу үшін Пифагор теоремасын қолданамыз.
Тік бұрышты үшбұрышта:
Бір катет (көлденең) a = 30 м,
Екінші катет (биіктік) b = 40 м.
Гипотенузаны c табамыз:

Яғни, доптың бастапқы орнынан нысанаға дейінгі қашықтық шамамен 50 метр.

Пифагор теоремасын не үшін қолданамыз?
Пифагор теоремасы практикалық қолдану үшін өте пайдалы. Мысалы, құрылыс саласында ғимараттардың немесе жолдардың тегістігін тексеруде, навигацияда және геодезияда жер бетінің формаларын анықтауда, физика мен инженерияда векторларды есептеу кезінде, сигналдарды жіберу мен қабылдауда, сондай-ақ компьютерлік графикада да маңызды рөл атқарады.
Пифагор теоремасын түсіну арқылы біз үшбұрыштардың қасиеттерін тереңірек зерттеп, оларды түрлі жағдайда қолдана аламыз. Осылайша, математиканың және геометрияның негіздерін меңгеру арқылы біз күнделікті өмірде кездесетін түрлі мәселелерді шешуге мүмкіндік аламыз. Пифагор теоремасы тек математикалық теория ғана емес, сонымен қатар практикалық тапсырмаларды шешудің тиімді құралы болып табылады.