Иррациональные уравнения

Алматы қаласы Алмалы ауданы

КММ «№34 гимназиясының» 

математика пәнінің  мұғалімі

Ли Алла Дмитриевна

Урок по алгебре и началам анализа в 11 классе

Тема урока: «Иррациональные уравнения»

Учитель: Ли Алла Дмитриевна

Тип урока: Урок ознакомления с новым материалом

Цель обучения в соответствии с учебной программой – знать определение иррационального уравнения; уметь решать иррациональные уравнения.

Цель урока:

• Ввести понятие иррационального уравнения.
• Формирование навыки решения иррациональных уравнений
• Развитие у учащихся навыков самостоятельной работы
• Развитие логического мышления.

Структура урока:

• Организационный момент(2минуты).
• Подготовка к изучению нового материала повторением(фронтальный опрос)(6минут).
• Объяснение нового материала (15 минут).
• Закрепление изученного материала (15минут).
• Подведение итогов урока проверкой знания и понимания изученной темы. Оценка ответов учащихся (5минут).
• Постановка домашнего задания (2минуты).

1. Организационный момент.

Проверка готовности класса к урока. Озвучивание темы и целей урока.

1. Устная работа.

Ответить на вопросы:

1. Дать определение уравнения, какие виды уравнений вы знаете?
2. Что называется корнем уравнения?
3. Дать определение корня n-ой степени.
4. Какими свойствами обладает корень n-ой степени?
5. Для каких значений переменных равенство верно:

=

  Изучение нового материала.

     Определение. Иррациональным уравнением называется уравнение, содержащее неизвестное под знаком радикала или под знаком возведения в дробную степень.

Например:  = 2х – 1 ;         ;      2  ;

.

иррациональных уравнений.

решении иррациональных уравнений корни (радикалы), входящие в уравнения, всегда рассматриваются как арифметические корни. Поэтому нужно определить ОДЗ переменной, содержащейся под знаком корня.

1)  =  – 1;                         2)  ;

= 4 – х.

Первое уравнение не имеет решения, т.к. арифметический квадратный корень не существует из отрицательного числа.

Второе уравнение тоже не имеет решения, т.к. ОДЗ двух подкоренных выражений равно 1, и только оно может быть решением уравнения, но при постановке единицы в левую часть уравнения получим 0, что не равно 3.

В третьем уравнении интервалы неотрицательности левой и правой частей не имеют области пересечения. Следовательно, уравнение не имеет решений.

Вывод. Прежде чем приступить к решению иррационального уравнения, нужно выяснить: есть ли смысл решать данное уравнение. Лишь после выяснения вопроса о целесообразности решения данного иррационального уравнения следует определить возможные способы его решения.

Решение простейших иррациональных уравнений.

Решение любого иррационального уравнения сводится к решению рационального уравнения. Рассмотрим, в чем заключается смысл решения иррациональных уравнений общим методом:

а) , где  – некоторое число.

Если   то уравнение не имеет решения.

Если    0, уравнение равносильно уравнению f(х) =  В уравнении данного вида можно ОДЗ не определять. Почему?

б) g(х).

В этом случае при условии g(х)  0возводим обе части уравнения в квадрат.

g(х)  0

Данное уравнение равносильно системе:

=

в)

f(x) = g(x)

Данное уравнение равносильно системе:       f(x)  0

g(x)  0.

г)

Если   то уравнение не имеет решения.

f(x)  0

Если    0, то уравнение равносильно системе:     g(x)  0

4.Решим задачу: Гипотенуза прямоугольного треугольника на 2 м больше катета, а периметр равен 12м. Найдите длину стороны треугольника.

Решение: Пусть первый катет – х см, тогда гипотенуза равна (х+2) см, следовательно второй катет равен  см.

Применяя формулу периметра, получим уравнение: 2  + х + ( х+ 2) = 12   (1)

Учащиеся самостоятельно приводят уравнение к виду:  = 5 – х.    (2)

Возведя обе части уравнения в квадрат и решив квадратное уравнение получим корни: = 8 и = 3. Подставим найденные значения в уравнение (2). Что мы видим?. 8 не удовлетворяет исходному уравнению. Следовательно число 8 является посторонним корнем.

Какое преобразование уравнения привело данное уравнение к новому, не равносильному ему?   (возведение в квадрат)

Проверьте, равносильны ли два уравнения: х + 1 = 2 и  + 2х + 1 = 4? ( второе уравнение получили возведением первого уравнения в квадрат, но корень второго уравнения (-3) не является корнем первого, следовательно не равносильны)

Ответьте на следующие вопросы:

1. Будет ли уравнение, полученное после возведения обеих частей в одну и ту же степень, равносильно данному?
2. Какие корни называются посторонними для данного уравнения?
3. Почему проверка иррационального уравнения является обязательным этапом его решения?

Выполнение упражнений по теме урока.

1. =5
4. –
5. Подведение итогов урока.

На сегодняшнем уроке мы познакомились с иррациональным уравнением и некоторыми методами решения иррационального уравнения.

Пожалуйста, поделитесь своими мыслями о сегодняшнем занятии. Начните со слов: – я узнал … ; -я почувствовал …;  -я заметил, что …; и т.п.

6. Домашнее задание: